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1. Integrales de Itô con Respecto al Movimiento Browniano

Las integrales estocásticas con respecto al movimiento browniano 34 son objetos fundamentales en el cálculo estocástico, permitiendo el tratamiento riguroso de ecuaciones diferenciales estocásticas y procesos aleatorios en tiempo continuo. A diferencia del cálculo ordinario, donde la integración se realiza con respecto a funciones suaves, la integración estocástica implica integrar con respecto al movimiento browniano, un proceso con variación infinita (pero variación cuadrática finita) y caminos que no son diferenciables en ningún punto.

Una vez más, como en otros artículos, este es para recordar el proceso paso a paso para tratar con integrales de Itô.

1.1 La Integral de Itô: Construcción y Definición

1.1.1 Marco Matemático

Sea \(W(t)\) un movimiento browniano estándar definido en un espacio de probabilidad filtrado \((\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \geq 0}, \mathbb{P})\). Estamos buscando cómo resolver/analizar la integral:

\[ \begin{equation} \int_s^t f(u)\,dW(u) \label{eq:ito_integral_notation} \end{equation} \]

donde \(f(u)\) es ya sea una función determinista del tiempo o un proceso estocástico adaptado (es decir, \(f(u)\) es \(\mathcal{F}_u\)-medible para cada \(u\)).

¿Por Qué No Integración de Riemann-Stieltjes?

El movimiento browniano tiene variación no acotada en cualquier intervalo \([s, t]\), lo que significa:

\[ \sum_{i=0}^{n-1} |W(t_{i+1}) - W(t_i)| \to \infty \quad \text{cuando } n \to \infty \]

Esto hace que la integración clásica de Riemann-Stieltjes sea imposible. Necesitamos un enfoque diferente basado en convergencia en media cuadrática en lugar de convergencia puntual (variación cuadrática).

1.1.2 Construcción Mediante Partición y Aproximación

La integral de Itô se define como el límite de sumas similares a Riemann construidas a través de particiones. Divida el intervalo \([s, t]\) en \(n\) subintervalos:

\[ \begin{equation} s = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = t \label{eq:partition} \end{equation} \]

con tamaño de malla \(\Delta t_i = t_{i+1} - t_i\) para \(i = 0, 1, \ldots, n-1\). Entonces, la integral de Itô se aproxima mediante:

\[ \begin{equation} \int_s^t f(u)\,dW(u) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \label{eq:riemann_sum_approximation} \end{equation} \]

donde:

  • \(f(t_i)\) es el valor del integrando en el punto final izquierdo del intervalo \([t_i, t_{i+1}]\)
  • \(W(t_{i+1}) - W(t_i)\) es el incremento del movimiento browniano sobre ese intervalo
  • El límite se toma en el sentido de media cuadrática cuando el tamaño de malla \(\max_i \Delta t_i \to 0\)
Evaluación en Punto Final Izquierdo: La Convención de Itô

En la integral de Itô, evaluamos el integrando en el punto final izquierdo de cada subintervalo. Esto es crucial por dos razones:

  1. Causalidad: \(f(t_i)\) es conocido (o medible con respecto a \(\mathcal{F}_{t_i}\)) en tiempo \(t_i\), antes de que ocurra el incremento aleatorio \(W(t_{i+1}) - W(t_i)\)
  2. Propiedad de Martingala: Esta propiedad de no anticipación asegura que las integrales de Itô son martingalas con deriva cero

Las convenciones alternativas (por ejemplo, integración de Stratonovich) usan evaluación en punto medio y generan reglas de cálculo diferentes.

1.1.3 Condiciones de Integrabilidad

Para que la integral \(\ref{eq:riemann_sum_approximation}\) esté bien definida, se requieren algunas condiciones, tales como:

Tipo de Integrabilidad Condición
Determinista \(\int_s^t f(u)^2\,du < \infty\)
Estocástica \(\mathbb{E}\left[\int_s^t H(u)^2\,du\right] < \infty\)
Requisito de Proceso Adaptado

Para integrandos estocásticos \(H(u)\), requerimos que \(H(u)\) esté adaptado a la filtración \((\mathcal{F}_u)\), lo que significa que \(H(u)\) solo depende de información disponible hasta tiempo \(u\). Esto asegura:

  • No anticipación: El integrando no puede "mirar hacia el futuro"
  • Propiedad de martingala: La integral sigue siendo una martingala con deriva cero
  • Bien definido: El límite de media cuadrática existe

La condición de integrabilidad cuadrada en el requisito de integrabilidad estocástica asegura que el límite de media cuadrática en \(\ref{eq:riemann_sum_approximation}\) existe. Esto es más débil que requerir convergencia puntual y es el marco natural para la integración estocástica.

1.1.4 Ejemplo: Integrando Exponencial

Para el caso específico \(f(u) = e^{au}\) donde \(a\) es una constante:

\[ \begin{equation} \int_s^t e^{au}\,dW(u) = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \label{eq:exponential_ito_integral_construction} \end{equation} \]

Esta integral aparece frecuentemente en las soluciones de ecuaciones diferenciales estocásticas lineales, incluyendo el Modelo de Vasicek.

1.2 Valor Esperado: La Propiedad de Martingala

1.2.1 Enunciado

Una de las propiedades más importantes de las integrales de Itô es que son martingalas con esperanza condicional cero:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\int_s^t f(u)\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] = 0 \label{eq:ito_integral_zero_expectation} \end{equation} \]

para todo \(0 \leq s < t\) y cualquier integrando adaptado \(f(u)\) satisfaciendo las condiciones de integrabilidad. Este resultado fundamental nos dice que las integrales estocásticas representan aleatoriedad pura sin deriva sistemática, ya que promedian a cero cuando se condicionan en información pasada.

1.2.2 Prueba Paso a Paso para Integrandos Deterministas

Probaremos la ecuación \(\ref{eq:ito_integral_zero_expectation}\) para el caso exponencial:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\int_s^t e^{au}\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] = 0 \label{eq:exponential_ito_integral} \end{equation} \]

Calculamos la esperanza condicional de la suma aproximante como se explicó arriba en \(\ref{eq:riemann_sum_approximation}\).

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] \label{eq:conditional_expectation_sum} \end{equation} \]

Usando la linealidad de la esperanza condicional, podemos decir que

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] \label{eq:linearity_of_expectation} \end{equation} \]
Insight Crítico

Considere un término único:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] \label{eq:single_term} \end{equation} \]

Como integramos de \(s\) a \(t\), tenemos \(t_i \geq s\) para todos los términos en la suma. El incremento \(W(t_{i+1}) - W(t_i)\) ocurre en el futuro relativo al tiempo \(s\).

La clave para entender por qué esta esperanza es cero radica en reconocer cuándo está disponible la información y cuándo ocurre la aleatoriedad.

Posteriormente, podemos aplicar la propiedad de torre (ley de esperanzas iteradas):

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[\style{color: var(--math-highlight-4)}{\mathbb{E}\left[e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_{t_i}\right]} \mid \mathcal{F}_s\right] \label{eq:tower_property} \end{equation} \]
Propiedad de Torre

La propiedad de torre (también llamada ley de esperanzas iteradas) establece que para cualquier \(s \leq t_i\):

\[ \mathbb{E}\left[X \mid \mathcal{F}_s\right] = \mathbb{E}\left[\mathbb{E}\left[X \mid \mathcal{F}_{t_i}\right] \mid \mathcal{F}_s\right] \]

Esto nos permite "condicionar hacia abajo" a una filtración más fina primero, luego condicionar hacia arriba a la filtración más gruesa.

Por Qué Esto es Crucial para Computar Integrales de Itô:

Cuando queremos encontrar \(\mathbb{E}\left[\int_s^t f(u)\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right]\), enfrentamos un desafío: la integral involucra incrementos \(W(t_{i+1}) - W(t_i)\) que ocurren en tiempos \(t_i \geq s\), que están en el futuro relativo al tiempo \(s\).

La propiedad de torre nos permite dividir esto en dos pasos:

  1. Primero, condicionar al tiempo intermedio \(\mathcal{F}_{t_i}\) donde podemos usar el hecho de que \(e^{at_i}\) es conocido y el incremento futuro \(W(t_{i+1}) - W(t_i)\) es independiente de \(\mathcal{F}_{t_i}\)
  2. Luego, promediar este resultado hacia la filtración original \(\mathcal{F}_s\)

Sin esta propiedad, no podríamos separar la parte "conocida" (\(e^{at_i}\)) de la parte "aleatoria" (\(W(t_{i+1}) - W(t_i)\)) y explotar la propiedad de incrementos independientes del movimiento browniano.

Ahora, dado que \(e^{at_i}\) es determinista (depende solo del tiempo, no de aleatoriedad) y \(t_i\) es conocido en tiempo \(t_i\), podemos factorizarlo fuera de la esperanza interna:

\[ \begin{equation} \style{color: var(--math-highlight-4)}{\mathbb{E}\left[e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_{t_i}\right]} = e^{at_i} \style{color: var(--math-highlight-2)}{\mathbb{E}\left[W(t_{i+1}) - W(t_i) \mid \mathcal{F}_{t_i}\right]} \label{eq:factor_out_deterministic} \end{equation} \]

La propiedad clave del movimiento browniano es que los incrementos son independientes del pasado. El incremento \(W(t_{i+1}) - W(t_i)\) es:

  • Independiente de toda la información disponible en tiempo \(t_i\) (es decir, independiente de \(\mathcal{F}_{t_i}\))
  • Distribuido normalmente: \(W(t_{i+1}) - W(t_i) \sim \mathcal{N}(0, t_{i+1} - t_i)\)

Por lo tanto:

\[ \begin{equation} \style{color: var(--math-highlight-2)}{\mathbb{E}\left[W(t_{i+1}) - W(t_i) \mid \mathcal{F}_{t_i}\right]} = \mathbb{E}\left[W(t_{i+1}) - W(t_i)\right] = 0 \label{eq:brownian_increment_expectation} \end{equation} \]
¿Por Qué Cero?

Los incrementos del movimiento browniano tienen media cero:

\[ W(t_{i+1}) - W(t_i) \sim \mathcal{N}(0, t_{i+1} - t_i) \]

La media de una distribución \(\mathcal{N}(0, \sigma^2)\) es siempre 0, independientemente de la varianza.

Eventualmente, y sustituyendo de nuevo:

\[ \begin{equation} e^{at_i} \times 0 = 0 \label{eq:term_conclusion} \end{equation} \]

Dado que cada término en la suma \(\ref{eq:linearity_of_expectation}\) es igual a cero:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] = \sum_{i=0}^{n-1} 0 = 0 \label{eq:sum_of_zeros} \end{equation} \]

A medida que la partición se vuelve más fina (tamaño de malla \(\to 0\)), la suma de Riemann converge a la integral de Itô:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\int_s^t e^{au}\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} e^{at_i}\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right) \mid \mathcal{F}_s\right] = 0 \label{eq:limit_conclusion} \end{equation} \]

1.2.3 Generalización a Integrandos Arbitrarios

La prueba anterior se generaliza a cualquier función determinista \(f(u)\) satisfaciendo la condición de integrabilidad:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\int_s^t f(u)\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] = 0 \label{eq:general_deterministic_integrand} \end{equation} \]

Además, para procesos estocásticos adaptados \(H(u)\) (donde \(H(u)\) es \(\mathcal{F}_u\)-medible para cada \(u\)), el mismo resultado se mantiene bajo la condición de integrabilidad cuadrada:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\int_s^t H(u)\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] = 0 \label{eq:general_adapted_integrand} \end{equation} \]

1.3 Varianza: Isometría de Itô

Mientras que la propiedad de martingala nos dice que la media de una integral de Itô es cero, también necesitamos caracterizar su varianza para entender completamente la distribución de las integrales estocásticas.

1.3.1 Teorema de Isometría de Itô

Para cualquier función determinista \(f(u)\) satisfaciendo \(\int_s^t f(u)^2\,du < \infty\):

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(\int_s^t f(u)\,dW(u)\right)^2\right] = \int_s^t f(u)^2\,du \label{eq:ito_isometry} \end{equation} \]

Más generalmente, para la varianza condicional 1:

\[ \begin{equation} \begin{aligned} \text{Var}\left[\int_s^t f(u)\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] &= \mathbb{E}\left[\left(\int_s^t f(u)\,dW(u)\right)^2 \mid \mathcal{F}_s\right]\\ &= \int_s^t f(u)^2\,du \end{aligned} \label{eq:ito_isometry_variance} \end{equation} \]

1.3.2 Esbozo de Prueba para la Isometría de Itô

Primero, tomemos la aproximación usando suma de Riemann.

\[ \begin{equation} \left(\int_s^t f(u)\,dW(u)\right)^2 \approx \left(\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)\right)^2 \label{eq:squared_riemann_sum} \end{equation} \]

que, cuando expandimos la potencia 2, obtenemos donde \(\Delta W_i = W(t_{i+1}) - W(t_i)\).

\[ \begin{equation} \left(\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)\Delta W_i\right)^2 = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)^2 (\style{color: var(--math-highlight-2)}{\Delta W_i})^2 + 2\sum_{i<j} f(t_i)f(t_j)\style{color: var(--math-highlight-4)}{\Delta W_i \Delta W_j} \label{eq:expansion} \end{equation} \]

Los términos cruzados se desvanecen porque los incrementos en diferentes tiempos son independientes:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[\style{color: var(--math-highlight-4)}{\Delta W_i \Delta W_j}] = \mathbb{E}[\Delta W_i]\mathbb{E}[\Delta W_j] = 0 \quad \text{para } i < j \label{eq:cross_terms_zero} \end{equation} \]

Entonces, los términos restantes se llaman términos diagonales, y contribuyen con 2:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[(\style{color: var(--math-highlight-2)}{\Delta W_i})^2] = \text{Var}(\Delta W_i) = t_{i+1} - t_i = \Delta t_i \label{eq:diagonal_variance} \end{equation} \]

Entonces sumando y usando el límite, podemos decir

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)\Delta W_i\right)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i)^2 \Delta t_i \to \int_s^t f(u)^2\,du \label{eq:isometry_limit} \end{equation} \]

conforme el tamaño de malla tiende a cero.

1.3.3 Ejemplo: Integrando Exponencial

Para \(f(u) = e^{au}\):

\[ \begin{equation} \text{Var}\left[\int_s^t e^{au}\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s\right] = \int_s^t e^{2au}\,du = \frac{e^{2at} - e^{2as}}{2a} \label{eq:exponential_variance} \end{equation} \]

Esta fórmula de varianza en \(\ref{eq:exponential_variance}\) es crucial para calcular la varianza de la tasa corta en el Modelo de Vasicek.

1.4 Caracterización Distribucional Completa

Combinando la propiedad de media cero \(\ref{eq:ito_integral_zero_expectation}\) con la fórmula de varianza \(\ref{eq:ito_isometry_variance}\), cuando \(f(u)\) es determinista:

\[ \begin{equation} \int_s^t f(u)\,dW(u) \mid \mathcal{F}_s \sim \mathcal{N}\left(0, \int_s^t f(u)^2\,du\right) \label{eq:ito_integral_distribution} \end{equation} \]

Esta distribución gaussiana es fundamental para el cálculo estocástico:

  • La integral es normalmente distribuida
  • La media es cero
  • La varianza es la integral del integrando al cuadrado
Key Insight

El par (media, varianza) = \(\left(0, \int_s^t f(u)^2\,du\right)\) caracteriza completamente la distribución de integrales de Itô con integrandos deterministas.

1.5 Conexión con Otros Resultados

  1. Ver Isometría de Itô. ↩

  2. Ver Movimiento Browniano, sección asociada con propiedades de diferencias browninas. ↩

  3. Bernt Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 6th edition, 2013. URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-14394-6. ↩

  4. Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, 2nd edition, 1991. ↩