1. Isometría de Itô: un intento de derivación

La isometría de Itô es la identidad que permite que la integración estocástica con respecto al movimiento browniano sea entendida como una operación \(L^2\)-isométrica.
En lugar de ser un truco computacional, refleja la ortogonalidad y la estructura de varianza de los incrementos brownianos.

1.1 Marco y enunciado

Sea \((W_t)_{t \ge 0}\) un movimiento browniano estándar definido en un espacio de probabilidad filtrado
\((\Omega, \mathcal{F}, (\mathcal{F}_t)_{t \ge 0}, \mathbb{P})\). Además, sea \(H_t\) un proceso adaptado satisfaciendo la condición de integrabilidad cuadrada

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t^2\,dt\right] < \infty. \label{eq:square_integrability_condition} \end{equation} \]

Entonces la integral de Itô satisface la identidad

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_t\,dW_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t^2\,dt\right]. \label{eq:ito_isometry} \end{equation} \]

¿Por Qué 'Isometría'?

El término "isometría" viene del hecho de que esta fórmula preserva la norma \(L^2\) — el operador de integral estocástica mapea \(L^2([s,t])\) a \(L^2(\Omega)\) isométricamente, lo que significa:

\[ \left\|\int_s^t f(u)\,dW(u)\right\|_{L^2(\Omega)} = \|f\|_{L^2([s,t])} \]

Esto es análogo a cómo las rotaciones en espacio euclidiano preservan longitudes.

1.2 Reducción a procesos adaptados simples

La construcción de la integral de Itô comienza con procesos adaptados simples de la forma en \(\ref{eq:simple_process}\).

\[ \begin{equation} H_t = \sum_{k=0}^{n-1} H_k\,\mathbf{1}_{(t_k,t_{k+1}]}(t), \label{eq:simple_process} \end{equation} \]

donde

las particiones son \(0 = t_0 < t_1 < \dots < t_n = T\), con \(n\) el número de particiones.
cada coeficiente \(H_k\) es \(\mathcal{F}_{t_k}\)-medible,
y \(\mathbb{E}[H_k^2] < \infty\).

Para tales procesos, la integral de Itô es definida por \(\ref{eq:ito_integral_definition}\), como una agregación por particiones, donde la partición en tiempo \((t_{i+1}-t_i) \to 0\).

\[ \begin{equation} \int_0^T H_t\,dW_t := \sum_{k=0}^{n-1} H_k\left(W_{t_{k+1}} - W_{t_k}\right). \label{eq:ito_integral_definition} \end{equation} \]

1.3 Segundo momento de la integral estocástica

Ahora calculamos el segundo momento de la integral definida en \(\ref{eq:ito_integral_definition}\), introduciendo los incrementos brownianos en \(\ref{eq:brownian_increment}\) abajo.

\[ \begin{equation} \Delta W_k := W_{t_{k+1}} - W_{t_k}. \label{eq:brownian_increment} \end{equation} \]

Entonces, considerando que la integral continua puede ser expresada como suma cuando la longitud de particiones tiende a cero, tenemos \(\ref{eq:second_moment_integral}\) abajo.

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_t\,dW_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{k=0}^{n-1} H_k \Delta W_k \right)^2 \right]. \label{eq:second_moment_integral} \end{equation} \]

Así, el lado derecho de \(\ref{eq:second_moment_integral}\) también puede ser definido como en \(\ref{eq:second_moment_integral_II}\).

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{k=0}^{n-1} H_k \Delta W_k \right)^2 \right] = \mathbb{E}\left[ \left( \sum_{k=0}^{n-1} H_k \Delta W_k \right)\times \left( \sum_{l=0}^{n-1} H_l \Delta W_l \right) \right]. \label{eq:second_moment_integral_II} \end{equation} \]

Entonces, podemos expandir el cuadrado, ver \(\ref{eq:square_expansion}\), tomando en consideración la propiedad conmutativa de la multiplicación, dando lugar a multiplicar dos veces cuando \(k < l\). Esto permite dar cuenta de la multiplicación doble sin necesidad de doble procesamiento.

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[ \sum_{k=0}^{n-1} H_k^2 (\Delta W_k)^2 + 2 \sum_{k<\ell} H_k H_\ell \Delta W_k \Delta W_\ell \right]. \label{eq:square_expansion} \end{equation} \]

1.3.1 Desvanecimiento de términos cruzados

Para índices \(k < \ell\), la variable aleatoria \(H_k \Delta W_k\) es \(\mathcal{F}_{t_{k+1}}\)-medible, mientras \(\Delta W_\ell\) es independiente de \(\mathcal{F}_{t_{k+1}}\) y tiene media cero. Por lo tanto,

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[ H_k H_\ell \Delta W_k \Delta W_\ell \right] = 0. \label{eq:cross_terms_vanish} \end{equation} \]

Todos los términos mixtos se desvanecen, reflejando la ortogonalidad de incrementos brownianos disjuntos.

1.4 Contribución de términos diagonales

El movimiento browniano tiene incrementos independientes con varianza proporcional al tiempo, así

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[(\Delta W_k)^2\right] = t_{k+1} - t_k. \label{eq:increment_variance} \end{equation} \]

Dado que \(H_k\) es \(\mathcal{F}_{t_k}\)-medible e independiente de \(\Delta W_k\),

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[ H_k^2 (\Delta W_k)^2 \right] = \mathbb{E}\left[H_k^2\right] \left(t_{k+1} - t_k\right). \label{eq:diagonal_terms} \end{equation} \]

Sumando sobre todos los intervalos da

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_t\,dW_t\right)^2\right] = \sum_{k=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[H_k^2\right] \left(t_{k+1} - t_k\right). \label{eq:sum_representation} \end{equation} \]

1.5 Identificación con una integral de tiempo

El lado derecho puede ser escrito como

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[ \int_0^T H_t^2\,dt \right], \label{eq:time_integral_representation} \end{equation} \]

que se sigue directamente de la definición de \(H_t\) como un proceso simple. Así, para procesos adaptados simples,

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(\int_0^T H_t\,dW_t\right)^2\right] = \mathbb{E}\left[\int_0^T H_t^2\,dt\right]. \label{eq:ito_isometry_simple} \end{equation} \]

1.6 Extensión a integrandos generales

Los procesos adaptados simples son densos en \(L^2(\Omega \times [0,T])\).
La integral de Itô se extiende a todos los procesos satisfaciendo \(\eqref{eq:square_integrability_condition}\) por continuidad.

Dado que la identidad se mantiene para una subclase densa y ambos lados son continuos en \(L^2\), se extiende únicamente a todos los integrandos admisibles, dando la isometría de Itô \(\eqref{eq:ito_isometry}\).

1.7 Interpretación

La isometría de Itô muestra que la integral estocástica preserva normas \(L^2\) en esperanza.
El movimiento browniano juega el papel de una fuente de ruido ortogonal, transformando el tiempo en varianza y permitiendo que el cálculo estocástico refleje la geometría del espacio de Hilbert.