1. Variación y Variación Cuadrática de Funciones

En cálculo clásico, las funciones suaves tienen variación acotada, lo que nos permite definir la integración usando la teoría de Riemann-Stieltjes. Sin embargo, procesos estocásticos como el movimiento browniano se comportan muy diferente — tienen variación no acotada pero variación cuadrática finita. Esta propiedad fundamental es lo que hace que el cálculo estocástico sea distinto del cálculo ordinario y es la fundación del cálculo de Itô ¹²³.

Este documento proporciona un tratamiento riguroso de conceptos de variación, construyendo desde definiciones básicas hasta las propiedades notables de la variación cuadrática del movimiento browniano.

1.1 ¿Qué es la Variación de una Función?

La variación de una función mide cuánto la función "se mueve arriba y abajo" sobre un intervalo. Intuitivamente, cuantifica la distancia total viajada por la función, contabilizando todos los cambios de dirección.

1.1.1 Motivación Informal

Considere una función \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) y una partición del intervalo:

\[ \begin{equation} a = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = b \label{eq:basic_partition} \end{equation} \]

Mientras nos movemos de \(t_i\) a \(t_{i+1}\), la función cambia por \(f(t_{i+1}) - f(t_i)\). La variación total acumula todos estos cambios (en valor absoluto), mientras la variación cuadrática acumula los cuadrados de estos cambios.

¿Por Qué Estudiar Variación?

La variación caracteriza la "rugosidad" o "irregularidad" de una función:

Funciones suaves: Variación acotada, variación cuadrática cero
Funciones con saltos: Variación finita, variación cuadrática finita en saltos
Movimiento browniano: Variación infinita, variación cuadrática finita

Entender la variación es esencial para determinar qué tipo de cálculo se aplica a un proceso dado.

1.2 Variación de Primer Orden (Variación Total)

1.2.1 Definición

La variación (total) de una función \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) se define como:

\[ \begin{equation} V_a^b(f) = \sup_{\Pi} \sum_{i=0}^{n-1} |f(t_{i+1}) - f(t_i)| \label{eq:total_variation_definition} \end{equation} \]

donde el supremo se toma sobre todas las particiones \(\Pi: a = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = b\) del intervalo \([a, b]\).

Interpretación

La variación total \(V_a^b(f)\) representa la distancia total viajada por la función a lo largo del eje vertical mientras la entrada se mueve de \(a\) a \(b\). Si imaginara caminar a lo largo de la gráfica de \(f(t)\), la variación total mide el desplazamiento vertical acumulativo.

1.2.2 Propiedades

Una función \(f\) se dice que tiene variación acotada si \(V_a^b(f) < \infty\).

Propiedades clave de funciones con variación acotada:

Descomposición: Cualquier función con variación acotada puede ser escrita como la diferencia de dos funciones monótonas crecientes:

\[ \begin{equation} f(t) = f_1(t) - f_2(t) \label{eq:jordan_decomposition} \end{equation} \]

Diferenciabilidad: Las funciones con variación acotada son diferenciables casi en todas partes (teorema de Lebesgue)
Integración: Si \(f\) tiene variación acotada, la integral de Riemann-Stieltjes \(\int g(t)\,df(t)\) está bien definida para \(g\) continua

1.2.3 Ejemplos

1.2.3.1 Función Monótonamente Creciente

Sea \(f(t) = t\) en \([0, 1]\).

Considere una partición arbitraria

\[ \begin{equation} 0 = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = 1 \label{eq:monotone_partition} \end{equation} \]

Entonces, calcule la suma de variación. Dado que \(f\) es creciente, \(f(t_{i+1}) - f(t_i) > 0\), así:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} |f(t_{i+1}) - f(t_i)| = \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1}) - f(t_i)) = f(1) - f(0) = 1 \label{eq:monotone_variation_sum} \end{equation} \]

Esta es una suma telescópica que se colapsa al cambio total. Entonces tomando el supremo, y dado que esto es igual a 1 para cada partición:

\[ \begin{equation} V_0^1(f) = 1 < \infty \label{eq:monotone_total_variation} \end{equation} \]

Resultado: Variación Acotada

Las funciones monótonas tienen variación acotada igual al cambio total \(|f(b) - f(a)|\).

1.2.3.2 Función Diferenciable

Sea \(f(t) = \sin(t)\) en \([0, 2\pi]\). Para una función continuamente diferenciable:

\[ \begin{equation} V_a^b(f) = \int_a^b |f'(t)|\,dt \label{eq:smooth_variation_formula} \end{equation} \]

Después, aplique a seno

\[ \begin{equation} V_0^{2\pi}(\sin) = \int_0^{2\pi} |\cos(t)|\,dt \label{eq:sine_variation} \end{equation} \]

Eventualmente, evalúe la integral dividiendo en regiones donde \(\cos(t)\) tiene signo constante:

\[ \begin{equation} \int_0^{2\pi} |\cos(t)|\,dt = \int_0^{\pi/2} \cos(t)\,dt - \int_{\pi/2}^{3\pi/2} \cos(t)\,dt + \int_{3\pi/2}^{2\pi} \cos(t)\,dt = 1 + 2 + 1 = 4 \label{eq:sine_variation_result} \end{equation} \]

Resultado: Variación Finita

Las funciones continuamente diferenciables tienen variación acotada dada por la integral de \(|f'(t)|\).

1.2.3.3 Movimiento Browniano - Variación Infinita

Sea \(W(t)\) un movimiento browniano estándar en \([0, T]\).

Mostraremos que \(W(t)\) tiene variación no acotada casi seguramente, es decir, \(V_0^T(W) = \infty\) a.s.

Considere una partición uniforme, dividiendo \([0, T]\) en \(n\) subintervalos iguales:

\[ \begin{equation} t_i = \frac{iT}{n}, \quad i = 0, 1, \ldots, n \label{eq:uniform_partition_brownian} \end{equation} \]

Entonces, calcule la suma de variación esperada

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} |W(t_{i+1}) - W(t_i)|\right] \label{eq:expected_variation_sum} \end{equation} \]

Por último pero no menos importante, use propiedades de incrementos brownianos en los cuales cada incremento \(W(t_{i+1}) - W(t_i) \sim \mathcal{N}(0, T/n)\), mientras que una variable normal estándar \(Z \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\):

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[|Z|] = \sigma\sqrt{\frac{2}{\pi}} \label{eq:absolute_normal_expectation} \end{equation} \]

Por lo tanto:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[|W(t_{i+1}) - W(t_i)|] = \sqrt{\frac{T}{n}} \cdot \sqrt{\frac{2}{\pi}} = \sqrt{\frac{2T}{\pi n}} \label{eq:brownian_increment_expectation} \end{equation} \]

que agregado, y tomando en cuenta que la suma es un operador lineal en esperanzas, la suma sobre todos los incrementos se representa por:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} |W(t_{i+1}) - W(t_i)|\right] = n \cdot \sqrt{\frac{2T}{\pi n}} = \sqrt{\frac{2Tn}{\pi}} \label{eq:total_expected_variation} \end{equation} \]

Por último, tomando el límite conforme \(n \to \infty\) vemos que es infinito.

\[ \begin{equation} \lim_{n \to \infty} \sqrt{\frac{2Tn}{\pi}} = \infty \label{eq:infinite_variation_limit} \end{equation} \]

Resultado Crítico: Variación No Acotada

El movimiento browniano tiene variación no acotada (infinita) en cualquier intervalo no trivial. Esto es por qué:

La integración clásica de Riemann-Stieltjes falla para el movimiento browniano
No podemos usar cálculo ordinario: \(dW(t)/dt\) no existe
Se requiere una nueva teoría (cálculo estocástico)

Esta propiedad de variación infinita distingue los procesos estocásticos de funciones suaves.

1.3 Variación Cuadrática

Dado que el movimiento browniano tiene variación infinita, necesitamos una medida diferente de su "rugosidad". La variación cuadrática resulta ser el concepto correcto.

1.3.1 Definición

La variación cuadrática de una función \(f: [a, b] \to \mathbb{R}\) sobre el intervalo \([a, b]\) se define como:

\[ \begin{equation} [f, f]_a^b = \lim_{|\Pi| \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 \label{eq:quadratic_variation_definition} \end{equation} \]

donde \(|\Pi| = \max_i(t_{i+1} - t_i)\) es el tamaño de malla de la partición, y el límite se toma conforme el tamaño de malla va a cero.

Para procesos estocásticos, este límite típicamente se entiende en el sentido de probabilidad o media cuadrática.

¿Por Qué Cuadrática?

En lugar de sumar \(|f(t_{i+1}) - f(t_i)|\) (variación de primer orden), sumamos cuadrados \((f(t_{i+1}) - f(t_i))^2\). Este cambio aparentemente menor tiene consecuencias profundas para procesos estocásticos.

1.3.2 Notación

Las notaciones comunes para variación cuadrática incluyen:

\([f, f]_a^b\) o \([f]_a^b\): Notación de intervalo
\(\langle f \rangle_t\) o \([f]_t\): Notación de proceso (variación cuadrática hasta tiempo \(t\))

1.3.3 Propiedades

Para funciones suaves: Si \(f\) es continuamente diferenciable, entonces:

\[ \begin{equation} [f, f]_a^b = 0 \label{eq:smooth_quadratic_variation_zero} \end{equation} \]

Para procesos con saltos: La variación cuadrática se acumula solo en puntos de salto
Para martingalas continuas: La variación cuadrática es una característica clave que mide la "aleatoriedad"

1.3.4 Ejemplo

1.3.4.1 Función Suave - Variación Cuadrática Cero

Sea \(f(t) = t^2\) en \([0, 1]\). Considere una partición con tamaño de malla \(|\Pi|\).

\[ \begin{equation} 0 = t_0 < t_1 < \cdots < t_n = 1, \quad |\Pi| = \max_i(t_{i+1} - t_i) \label{eq:smooth_partition} \end{equation} \]

Entonces, calcule la suma de variación cuadrática

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 = \sum_{i=0}^{n-1} (t_{i+1}^2 - t_i^2)^2 \label{eq:quadratic_sum_smooth} \end{equation} \]

Por el teorema del valor medio, existe \(\xi_i \in (t_i, t_{i+1})\), entonces cuadre y acote, tal que:

\[ \begin{equation} f(t_{i+1}) - f(t_i) = f'(\xi_i)(t_{i+1} - t_i) = 2\xi_i(t_{i+1} - t_i) \label{eq:mean_value_application} \end{equation} \]

\[ \begin{equation} (f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 = 4\xi_i^2(t_{i+1} - t_i)^2 \leq 4(t_{i+1} - t_i)^2 \leq 4|\Pi|(t_{i+1} - t_i) \label{eq:squared_increment_bound} \end{equation} \]

ya que \(\xi_i \in [0, 1]\) y \((t_{i+1} - t_i) \leq |\Pi|\). Eventualmente, sume y tome límite:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} (f(t_{i+1}) - f(t_i))^2 \leq 4|\Pi| \sum_{i=0}^{n-1} (t_{i+1} - t_i) = 4|\Pi| \cdot 1 \to 0 \label{eq:quadratic_variation_limit_smooth} \end{equation} \]

conforme \(|\Pi| \to 0\).

Resultado: Variación Cuadrática Cero

Para funciones suaves (continuamente diferenciables), la variación cuadrática es cero. La clave es que los incrementos cuadrados decaen como \(O(|\Pi|^2)\), que se desvanece conforme el tamaño de malla disminuye.

1.3.5 Notación Formal

En notación diferencial:

\[ \begin{equation} d[W]_t = dt \quad \Rightarrow \quad (dW(t))^2 = dt \label{eq:differential_quadratic_variation} \end{equation} \]

Esto frecuentemente se escribe simbólicamente como:

\[ \begin{equation} dW \cdot dW = dt \label{eq:symbolic_quadratic_variation} \end{equation} \]

Esta es la fundación de las reglas de multiplicación del cálculo de Itô.

1.4 Resumen e Insights Clave

1.4.1 Variación Total vs. Variación Cuadrática

Propiedad	Funciones Suaves	Movimiento Browniano
Variación de primer orden	Finita	Infinita
Variación cuadrática	Cero	Finita (\(= t\))
Tipo de cálculo	Clásico	Estocástico (Itô)
Integración	Riemann-Stieltjes	Integral de Itô
Corrección de regla de cadena	Sin término de segundo orden	Término \(\frac{1}{2}f''\sigma^2\,dt\)

1.4.2 Fórmula Fundamental

La fórmula más importante en cálculo estocástico:

\[ \begin{equation} (dW(t))^2 = dt \label{eq:fundamental_quadratic_variation} \end{equation} \]

Esto no es una aproximación — es una declaración exacta sobre la variación cuadrática del movimiento browniano, y es la fundación de todo el cálculo estocástico.

Línea de Fondo

La variación cuadrática es la clave que desbloquea el cálculo estocástico.

Sin ella: - No podríamos distinguir entre procesos suaves y ásperos - La fórmula de Itô se reduciría a la regla de cadena clásica - Las integrales estocásticas se comportarían como integrales ordinarias - No podríamos modelar aleatoriedad genuina en tiempo continuo

1.4.3 Generalización: Covariación

Para dos procesos \(X(t)\) y \(Y(t)\), la covariación cuadrática es:

\[ \begin{equation} [X, Y]_t = \lim_{|\Pi| \to 0} \sum_{i=0}^{n-1} (X(t_{i+1}) - X(t_i))(Y(t_{i+1}) - Y(t_i)) \label{eq:quadratic_covariation} \end{equation} \]

Esto extiende el concepto a correlación entre procesos estocásticos.

Construyendo confianza mediante validación rigurosa

Bernt Øksendal. Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications. Springer, 6th edition, 2013. URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-14394-6. ↩
Ioannis Karatzas and Steven E. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus. Springer, 2nd edition, 1991. ↩
Daniel Revuz and Marc Yor. Continuous Martingales and Brownian Motion. Springer, 3rd edition, 1999. URL: https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-662-06400-9. ↩