1. Movimiento Browniano

1.1 Descripción General

Esta entrada describe las propiedades fundamentales y características clave del movimiento browniano. Presento sus axiomas definitorios, derivo su estructura de momentos, y establezco la fórmula de covarianza que rige su dependencia a través del tiempo.

El movimiento browniano es el ruido central que impulsa el cálculo estocástico. En lugar de ser definido por una fórmula, se caracteriza por un pequeño conjunto de propiedades estructurales que determinan completamente su comportamiento. Estas propiedades codifican aleatoriedad, independencia y escalado en el tiempo.

1.2 Definición del Movimiento Browniano

Un proceso estocástico \((W_t)_{t \ge 0}\) se llama un movimiento browniano estándar si satisface:

\(W_0 = 0\) casi seguramente
Los caminos \(t \mapsto W_t(\omega)\) son casi seguramente continuos
El proceso tiene incrementos independientes
Para todo \(0 \le s < t\), el incremento \(W_t - W_s\) está distribuido normalmente con media \(0\) y varianza \(t - s\)

La última propiedad puede escribirse como

\[ \begin{equation} W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t - s). \label{eq:brownian_increment_distribution} \end{equation} \]

1.3 Media del Movimiento Browniano

Estableciendo \(s = 0\) en \(\eqref{eq:brownian_increment_distribution}\), obtenemos

\[ \begin{equation} W_t \sim \mathcal{N}(0, t). \label{eq:brownian_marginal_distribution} \end{equation} \]

Así, la ley del movimiento browniano en un tiempo fijo está completamente determinada por el tiempo transcurrido \(t\). El valor esperado de \(W_t\) se obtiene directamente de su distribución gaussiana. Usando \(\eqref{eq:brownian_marginal_distribution}\),

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_t] = 0. \label{eq:brownian_mean} \end{equation} \]

Esto refleja la ausencia de deriva: el movimiento browniano fluctúa simétricamente alrededor de cero.

1.3.1 Varianza expresada a través de momentos segundos

La varianza de \(W_t\) se define como

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}(W_t) = \mathbb{E}\left[(W_t - \mathbb{E}[W_t])^2\right]. \label{eq:variance_definition} \end{equation} \]

\[ \mathrm{Var}(W_t) = \mathbb{E}\left[W_t^2 - 2\cdot W_t \cdot \mathbb{E}[W_t] + \mathbb{E}[W_t]^2\right]. \]

Dado que el movimiento browniano tiene media cero \(\mathbb{E}[W_t] = 0\), la varianza se simplifica a

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}(W_t) = \mathbb{E}\left[W_t^2\right]. \label{eq:variance_second_moment} \end{equation} \]

1.3.2 Cálculo explícito usando la densidad gaussiana

Sea \(f_{W_t}\) la densidad de \(W_t\). De \(\eqref{eq:brownian_marginal_distribution}\) (media cero y varianza \(t\)).

\[ \begin{equation} f_{W_t}(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right). \label{eq:brownian_density} \end{equation} \]

El segundo momento es por lo tanto ¹

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_t^2] = \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f_{W_t}(x)\,dx. \label{eq:second_moment_integral} \end{equation} \]

Sustituyendo \(\eqref{eq:brownian_density}\),

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_t^2] = \frac{1}{\sqrt{2\pi t}} \int_{-\infty}^{\infty} x^2 \exp\left(-\frac{x^2}{2t}\right)\,dx. \label{eq:second_moment_expanded} \end{equation} \]

1.3.3 Reducción al momento gaussiano estándar

Realicemos el cambio de variables

\[ \begin{equation} u = \frac{x}{\sqrt{t}}, \qquad dx = \sqrt{t}\,du. \label{eq:variance_change_of_variables} \end{equation} \]

Entonces \(\eqref{eq:second_moment_expanded}\) se convierte en

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_t^2] = t \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^{\infty} u^2 e^{-u^2/2}\,du. \label{eq:variance_reduced_integral} \end{equation} \]

La integral restante es el segundo momento de una variable aleatoria normal estándar e igual a \(1\). Por lo tanto,

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_t^2] = t. \label{eq:variance_result} \end{equation} \]

Combinando con \(\eqref{eq:variance_second_moment}\), concluimos

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}(W_t) = t. \label{eq:variance_final} \end{equation} \]

1.4 Estructura de Covarianza del Movimiento Browniano

Ahora derivamos la covarianza entre dos tiempos \(s\) y \(t\).

Asuma sin pérdida de generalidad que \(0 \le s \le t\).

1.4.1 Definición de covarianza

La covarianza se define por

\[ \begin{equation} \mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \mathbb{E}[W_s W_t] - \mathbb{E}[W_s]\mathbb{E}[W_t]. \label{eq:covariance_definition} \end{equation} \]

Dado que el movimiento browniano tiene media cero, esto se simplifica a

\[ \begin{equation} \mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \mathbb{E}[W_s W_t]. \label{eq:covariance_simplified} \end{equation} \]

1.4.2 Descomposición usando incrementos independientes

Escriba \(W_t\) como

\[ \begin{equation} W_t = W_s + (W_t - W_s). \label{eq:brownian_decomposition} \end{equation} \]

Sustituyendo en \(\eqref{eq:covariance_simplified}\),

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_s W_t] = \mathbb{E}\left[ W_s^2 + W_s (W_t - W_s) \right]. \label{eq:covariance_expansion} \end{equation} \]

1.4.3 Desvanecimiento del término mixto

El incremento \(W_t - W_s\) es independiente de \(\mathcal{F}_s\) y tiene media cero.
Dado que \(W_s\) es \(\mathcal{F}_s\)-medible,

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[W_s (W_t - W_s)\right] = \mathbb{E}\left[ W_s \mathbb{E}[W_t - W_s \mid \mathcal{F}_s] \right] = 0. \label{eq:mixed_term_zero} \end{equation} \]

1.4.4 Cálculo final de covarianza

Usando \(\eqref{eq:mixed_term_zero}\),

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_s W_t] = \mathbb{E}[W_s^2]. \label{eq:covariance_reduced} \end{equation} \]

De \(\eqref{eq:variance_final}\), sabemos que

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_s^2] = s. \label{eq:variance_at_s} \end{equation} \]

Por lo tanto,

\[ \begin{equation} \mathrm{Cov}(W_s, W_t) = s. \label{eq:covariance_result_ordered} \end{equation} \]

Dado que la covarianza es simétrica, esto puede escribirse compactamente como

\[ \begin{equation} \mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t). \label{eq:covariance_final} \end{equation} \]

1.5 Valores Esperados de Diferencias de Movimiento Browniano

Una tarea común en cálculo estocástico es computar esperanzas que involucran diferencias del movimiento browniano en múltiples puntos de tiempo. Esta sección sistematicamente deriva estos valores esperados, construyendo sobre la propiedad de incrementos independientes.

1.5.1 Incremento Único: \(\mathbb{E}[W_t - W_s]\)

Para cualquier \(0 \le s < t\), el incremento \(W_t - W_s\) está distribuido normalmente:

\[ \begin{equation} W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s). \label{eq:single_increment_dist} \end{equation} \]

Por lo tanto, el valor esperado es inmediatamente:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_t - W_s] = 0. \label{eq:single_increment_expectation} \end{equation} \]

Por Qué Esto Importa

Esta propiedad de media cero es fundamental: el movimiento browniano no tiene deriva. Dado el valor del proceso en tiempo \(s\), el cambio esperado sobre cualquier intervalo futuro es cero. Esto hace que el movimiento browniano sea una martingala.

1.5.2 Producto de Dos Incrementos: \(\mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_u - W_v)]\)

Considere dos intervalos de tiempo \([s,t]\) y \([v,u]\). El valor esperado del producto de incrementos depende de si los intervalos se superponen.

1.5.2.1 Caso 1: Intervalos Disjuntos (\(t \le v\) o \(u \le s\))

Cuando los intervalos son disjuntos, los incrementos son independientes. Por ejemplo, si \(t \le v\):

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] = \mathbb{E}[W_t - W_s] \cdot \mathbb{E}[W_u - W_v] = 0 \cdot 0 = 0. \label{eq:disjoint_increments} \end{equation} \]

Propiedad de Incrementos Independientes

Cuando los intervalos \([s,t]\) y \([v,u]\) no se superponen, los incrementos correspondientes son variables aleatorias independientes. Para variables independientes con media cero, la esperanza de su producto es igual al producto de sus esperanzas (ambos cero).

1.5.2.2 Caso 2: Intervalos Superpuestos

Cuando los intervalos se superponen, debemos descomponer los incrementos cuidadosamente. Asuma \(s < v < t < u\). Entonces:

\[ W_t - W_s = (W_v - W_s) + (W_t - W_v) \]

\[ W_u - W_v = (W_t - W_v) + (W_u - W_t) \]

Expandiendo el producto:

\[ \begin{align} \mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] &= \mathbb{E}\left[(W_v - W_s + W_t - W_v)(W_t - W_v + W_u - W_t)\right] \nonumber \\ &= \mathbb{E}\left[(W_v - W_s)(W_t - W_v)\right] \nonumber \\ &\quad + \mathbb{E}\left[(W_v - W_s)(W_u - W_t)\right] \nonumber \\ &\quad + \mathbb{E}\left[(W_t - W_v)^2\right] \nonumber \\ &\quad + \mathbb{E}\left[(W_t - W_v)(W_u - W_t)\right]. \label{eq:overlapping_expansion} \end{align} \]

Usando la independencia de incrementos no superpuestos: - \(\mathbb{E}[(W_v - W_s)(W_t - W_v)] = 0\) - \(\mathbb{E}[(W_v - W_s)(W_u - W_t)] = 0\) - \(\mathbb{E}[(W_t - W_v)(W_u - W_t)] = 0\)

Solo el término de varianza sobrevive:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] = \mathbb{E}[(W_t - W_v)^2] = t - v. \label{eq:overlapping_result} \end{equation} \]

Patrón General

Para intervalos superpuestos, el producto esperado es igual a la longitud de la superposición:

\[ \mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_u - W_v)] = \max(0, \min(t,u) - \max(s,v)) \]

Esto generaliza tanto el caso disjunto (superposición = 0) como los casos anidados.

1.5.3 Caso Especial: \(\mathbb{E}[W_s W_t]\) Revisitado

Estableciendo \(s=0\) y \(v=0\) en el caso superpuesto, obtenemos la fórmula de covarianza que ya derivamos:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[W_s W_t] = \mathbb{E}[(W_s - W_0)(W_t - W_0)] = \min(s,t). \label{eq:product_expectation} \end{equation} \]

Esto confirma nuestro resultado de covarianza anterior \(\eqref{eq:covariance_final}\).

1.5.4 Diferencias de Tres Puntos: \(\mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_s - W_r)]\)

Para tiempos ordenados \(0 \le r < s < t\), considere el producto de incrementos consecutivos:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_s - W_r)]. \label{eq:consecutive_increments} \end{equation} \]

Estos incrementos corresponden a intervalos disjuntos \([r,s]\) y \([s,t]\), así que son independientes:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}[(W_t - W_s)(W_s - W_r)] = \mathbb{E}[W_t - W_s] \cdot \mathbb{E}[W_s - W_r] = 0 \cdot 0 = 0. \label{eq:consecutive_zero} \end{equation} \]

Error Común

No confunda esto con \(\mathbb{E}[W_t W_s]\). Mientras \(W_t\) y \(W_s\) están correlacionados (ambos contienen \(W_s\)), los incrementos \(W_t - W_s\) y \(W_s - W_r\) son independientes porque ocurren sobre intervalos de tiempo disjuntos.

1.5.5 Diferencia Cuadrada: \(\mathbb{E}[(W_t - W_s)^2]\)

Para \(0 \le s < t\):

\[ \begin{align} \mathbb{E}[(W_t - W_s)^2] &= \mathrm{Var}(W_t - W_s) + \left(\mathbb{E}[W_t - W_s]\right)^2 \nonumber \\ &= (t-s) + 0^2 \nonumber \\ &= t - s. \label{eq:squared_difference} \end{align} \]

Esto es simplemente la varianza del incremento, ya que la media es cero.

Conexión a Variación Cuadrática

El hecho de que \(\mathbb{E}[(W_t - W_s)^2] = t - s\) es la fundación para la variación cuadrática del movimiento browniano. Sumando sobre particiones lleva al resultado de que la variación cuadrática del movimiento browniano sobre \([0,t]\) es igual a \(t\).

1.6 Variación Cuadrática del Movimiento Browniano

La variación cuadrática mide qué tan "áspero" u "ondulado" es un camino. Para funciones suaves como polinomios, la variación cuadrática es cero. Pero el movimiento browniano no es diferenciable en ningún punto, ya que su variación cuadrática es no nula y fundamental para el cálculo estocástico.

1.6.1 Definición vía Partición

Para una partición de \([0,t]\):

\[ \begin{equation} 0 = t_0 < t_1 < t_2 < \cdots < t_n = t \label{eq:partition_qv} \end{equation} \]

la variación cuadrática se define como el límite de incrementos cuadrados:

\[ \begin{equation} [W]_t := \lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2 \label{eq:quadratic_variation_definition} \end{equation} \]

donde el límite se toma conforme el tamaño de malla \(\max_i (t_{i+1} - t_i) \to 0\), y la convergencia es en probabilidad.

¿Por Qué Variación Cuadrática?

¿Por qué enfocarse en incrementos cuadrados? Porque:

Primera variación (suma de incrementos absolutos) es infinita para el movimiento browniano
Variación cuadrática (suma de incrementos cuadrados) converge a un límite finito, no aleatorio
La variación cuadrática es lo que importa en cálculo de Itô — reemplaza el papel de derivadas clásicas

1.6.2 Derivando el Resultado

1.6.2.1 Calcule el Valor Esperado de Incrementos Cuadrados

Para un intervalo de partición único \([t_i, t_{i+1}]\), sabemos del trabajo anterior que:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = t_{i+1} - t_i =: \Delta t_i. \label{eq:qv_single_increments} \end{equation} \]

1.6.2.2 Sume Sobre Todos los Incrementos

El valor esperado de la suma de incrementos cuadrados es:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \mathbb{E}\left[\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \Delta t_i. \label{eq:qv_sum_increments} \end{equation} \]

1.6.2.3 Evalúe la Suma

La suma es telescópica y da el tiempo total transcurrido:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} \Delta t_i = \sum_{i=0}^{n-1} (t_{i+1} - t_i) = t_n - t_0 = t - 0 = t. \label{eq:qv_telescoping} \end{equation} \]

Por lo tanto:

\[ \begin{equation} \mathbb{E}\left[\sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = t. \label{eq:qv_expectation} \end{equation} \]

1.6.2.4 Muestre Convergencia en Probabilidad

Ahora necesitamos mostrar que la suma actual (no solo su esperanza) converge. La varianza de la suma es:

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}\left[\sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} \mathrm{Var}\left[\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right]. \label{eq:qv_variance} \end{equation} \]

Calcular Varianza de Gaussiana Cuadrada

Para una variable normal con media cero \(X \sim \mathcal{N}(0, \sigma^2)\):

\[\mathrm{Var}(X^2) = \mathbb{E}[X^4] - (\mathbb{E}[X^2])^2 = 3\sigma^4 - \sigma^4 = 2\sigma^4\]

Para nuestro incremento \(W(t_{i+1}) - W(t_i) \sim \mathcal{N}(0, \Delta t_i)\):

\[\mathrm{Var}\left[\left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = 2(\Delta t_i)^2\]

Cada término contribuye \(2(\Delta t_i)^2\):

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}\left[\sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] = \sum_{i=0}^{n-1} 2(\Delta t_i)^2 = 2\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta t_i)^2. \label{eq:qv_variance_expanded} \end{equation} \]

Como el tamaño de malla va a cero, \(\sum_{i=0}^{n-1} (\Delta t_i)^2 \to 0\) (es un \(O(|\Pi|)\) término donde \(|\Pi|\) es el tamaño de malla máximo). Por lo tanto:

\[ \begin{equation} \mathrm{Var}\left[\sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2\right] \to 0. \label{eq:qv_variance_limit} \end{equation} \]

Por la desigualdad de Chebyshev o el lema de Slutsky, la suma converge a su expectativa en probabilidad:

\[ \begin{equation} \sum_{i=0}^{n-1} \left(W(t_{i+1}) - W(t_i)\right)^2 \xrightarrow{P} t. \label{eq:qv_convergence} \end{equation} \]

Por lo tanto, el variación cuadrática del movimiento browniano sobre \([0, t]\) es exactamente \(t\):

\[ \begin{equation} [W]_t = t \quad \text{(en probabilidad)} \label{eq:brownian_quadratic_variation} \end{equation} \]

1.7 Notación Formal

En notación diferencial:

\[ \begin{equation} d[W]_t = dt \quad \Rightarrow \quad (dW(t))^2 = dt \label{eq:differential_quadratic_variation} \end{equation} \]

Esto frecuentemente se escribe simbólicamente como:

\[ \begin{equation} dW \cdot dW = dt \label{eq:symbolic_quadratic_variation} \end{equation} \]

Esto es la fundación de las reglas de multiplicación del cálculo de Itô.

Ver el excelente y directo artículo en Open Source Quant sobre momentos. ↩